上一回在《比特币（一）》中我们讲到:中本聪在设计比特币时，为了激励大家进行记账，安排了“转账手续费”和“打包奖励”，谁能够将自己的账本打包链接到区块链上，谁就能获得这些奖励。为了争夺打包权，每个用户必须进行“工作量证明”——计算一个复杂的数学题，谁第一个做出来，谁就能获得这份奖励。那么这回我们就来讲讲，这个复杂的数学题到底是什么。
注：本课内容为之前所作视频的文字稿，相应视频请见：
比特币和区块链啥原理？矿机挖矿是啥意思？
比特币1
比特币交易如何防伪?私钥公钥地址啥意思?
比特币2
声明：本人从未持有任何比特币或其他数字货币，也未接受过任何比特币投资机构的资助，本文只从技术角度探讨比特币原理，不构成任何投资建议，不鼓励购买任何虚拟货币。
01哈希函数以前，我们曾经讲过生日碰撞——一个班级里有23名学生，就会有超过50%的概率有两个同学的生日在同一天。无论一个人的名字有多长，或者这个人是什么国籍什么民族，他的生日总是以年、月、日的形式构成，生日的长度是固定的。在计算机科学中，有一种运算与求某人的生日很像，那就是哈希函数——它能够将任意字符串转化成一个固定位数的数字摘要。
哈希函数有两个特点：
第一，无论输入的字符串有多长，输出的字符串长度都是固定的。例如美国国家安全局发明了一种哈希算法SHA，它能将任意字符串输出成一个位的二进制代码。而且，如果输入的字符串有一点点变化，哈希值都会变得面目全非。
第二，哈希函数的正向计算很容易，反向计算非常困难。举例来说，我们可以设计这样一种运算：将一个10进制数每个位上的数字三次方取和，再除以取余数，再转化成二进制，这就是一种8位哈希函数。给定任意一个十进制数字，求出这个哈希值并不难；反过来，给出哈希值，问原来的数字是什么，却是非常困难的。
因为哈希值的这个特点，它被广泛用于计算机科学中，例如在校验、数字签名等领域都有应用。而中本聪在设计比特币时使用的工作量证明，也正是基于哈希函数。
数字签名的原理
02工作量证明明白了哈希运算，我们就可以来解释挖矿的具体过程了。
首先，区块链上每一个“块”都有头部和信息两个部分。参与挖矿的矿工们会读取前一个区块的头部，再加上自己收集的账单、打包的时间戳、个人信息和随机数等其他内容，生成一个字符串。
随后，用户会对这个字符串进行两次SHA的哈希运算，求出它的哈希值。
中本聪在《白皮书》中设计：只有那些计算出的哈希值小于某个值（从二进制数字上看，就是前几位数字都是0的哈希值）才是满足条件的，如果你找到了这个哈希值，那么就有资格把自己打的包链接到区块链上。
计算成功，顺利打包一个新块
此时，你给出了一个字符串和相应的哈希值，并向所有人广播，其他人经过检验确认了你的结果，于是你就可以将自己的数据链接到区块链上了。而你刚刚计算出的哈希值就是新的数据块头部，在下一轮比拼中，世界上所有的矿工都会读取你的数据块头部，加入到自己的字符串中，并疯狂进行下一轮的哈希运算。
可是，既然哈希值是无法反向计算的，矿工们又如何才能得到前n位都是0的哈希值呢？别无他法时，只有暴力破解。也就是：每个用户不停地改变自己字符串中的随机数，0、1、2、3……每次改变随机数后都对字符串做两次哈希运算和一次检验，直到尝试出那个符合条件的随机数和哈希值为止。它非常类似于暴力破解密码的过程。
需要指出的是：每个矿工在挖矿的时候，题目难度是不一样的。这是因为虽然每个矿工都读取了区块链上最后一个块的头部，但是每个矿工记录的账单信息、时间戳、个人信息等内容都是不一样的。所以，满足哈希值小于某个值这一条件，需要给出的随机数大小也不同。有些人运气好，有些人运气不好，所以计算的时间也有长有短。不过，平均来说，谁的计算能力更强，在单位时间内尝试的次数更多，谁就更有希望找到正确的哈希值成为幸运的矿工。
北美某比特币矿场
为了更加高效地进行SHA运算，人们设计了专门的芯片ASIC矿机和GPU矿机，跟我们常用的CPU比起来，它们对这种低级而又重复性高的计算更加拿手。又因为它们耗电量非常大，所以大型矿场都建设在水电站旁边等电价相对便宜的地区。
CPU和GPU架构不同
03难度设置中本聪设计比特币时，为了保证比特币不会滥发，要求每10分钟出现一个新的区块。可是，世界上的矿机越来越多，计算速度也越来越快，如何保证这个时间不变呢？这就涉及到难度设置的问题。
我们刚才说到：SHA算法可以将任意字符串转化成一个二进制数，它的每一位要么是0，要么是1，每一种可能的概率都是50%。那么，如果要求一个哈希值的前n位是0，概率就是：
反过来说，平均计算2n次才能出现一次前n位都是0的哈希值。我们可以根据全球矿机的计算能力来确定数学计算的难度，保证打包的速度不会太快或者太慢。如果挖矿的人太少，这个n就会变小，让计算变得容易一些；如果挖矿的人太多，就将n调大，让问题变得困难一些。
比特币平均算力走势（来自QKL）
举个例子，假如世界上有一万台矿机，每一台矿机的计算速度是14T/s——每秒钟可以进行14T（1T≈）次哈希运算。那么，全世界的矿机在10分钟（秒）内可以进行的哈希计算次数是：
想要一万台矿机大约用十分钟时间算出结果，设置的难度n应该需要满足：
所以，此时应该把挖矿的难度设置为n=66，第一个通过改变随机数，让自己的区块的哈希值前66位都是0的的人，能够成功挖到矿。
年1月2日难度达到13.80T（来源BTC.